Анатолий Георгиевич Почтарёв родился 28 ноября 1936 года в крестьянской семье в селе Васильево (ныне — Тёмкинский район Смоленской области). Окончил семилетнюю школу в селе Тёмкино, после поступил на учёбу в училище механизации сельского хозяйства. С 1953 года трудился трактористом в колхозе имени Димитрова в родном селе.
В 1955—1956 годах проходил срочную службу в Советской Армии, после которой по комсомольской путёвке переехал в Казахстан на освоение целинных земель.
С 1957 года работал трактористом, комбайнёром в совхозе «Менжинский» Ленинградского района Кокчетавской области Казахской ССР. Проработал в этом хозяйстве до выхода на пенсию.
Во время 7-й пятилетки (1959—1965) ежегодно перевыполнял план. За годы этой пятилетки намолотил более десяти тысяч тонн зерновых, за что был награждён Орденом Ленина.
В 1966 году вступил в КПСС.
Во время 8-й пятилетки (1966—1970) обработал на тракторе СК-4 посевную площадь в 6400 гектаров и намолотил более 6500 тонн зерновых.
В 1971 году был удостоен звания Героя Социалистического Труда "за выдающиеся успехи, достигнутые в развитии сельского производства и выполнении пятилетнего плана продажи государству продуктов земледелия и животноводства".
Избирался делегатом XIII съезда Компартии Казахстана и 25 съезда КПСС.
В 1990 году вышел на пенсию и проживал в посёлке Менжинский. В 1997 году переехал в деревню Тарлык Любинского района Омской области. С 2003 года проживает в посёлке Люблиснкий.