Алексей Захарович Машков родился 20 июня 1921 года в деревне Кульбакино Смоленской губернии.
В 1920-х годах семья переехала в Ярцево, где мать устроилась на ткацкую фабрику. Алексей учился в средней школе № 1 ("Белая школа"), тут же вступил в комсомол. В 1939 поступил в Пятигорский педагогический институт (физико-математический факультет). Осенью 1939 был призван в армию, направлен в артиллерийскую часть. В начале июня 1941 года за отличие в боевой и политической подготовке получил офицерское звание.
В 1942 году окончил курсы "Выстрел" и в том же году попал на фронт.
С 1943 года член ВКП(б)/КПСС.
20 сентября 1943 года командуя артиллерийской батареей 899-го артиллерийского полка старший лейтенант Машков, несмотря на яростный огонь противника, в числе первых с ходу преодолел реку Днепр, и огнём вверенной ему батареи способствовал удержанию и расширению плацдарма, а также прикрытию переправы (в районе села Бучак Каневского района Черкасской области Украины).
29 октября 1943 года указом Президиума Верховного Совета СССР за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм старшему лейтенанту Машкову Алексею Захаровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 1198).
После окончания войны, в 1945 году, окончил Высшую офицерскую артиллерийскую школу в Ленинграде.
С 1950 года служил офицером оперативного управления Главного штаба Ракетных войск стратегического назначения.
В 1951 году окончил Военную Академию Дзержинского.
В 1981 году ушёл в отставку.
Жил в Москве. Умер 27 сентября 1996 года. Похоронен на Преображенском кладбище.