Иван Нестерович Киреев родился 10 января 1910 года в селе Жердевка (ныне — город в Тамбовской области). Получил неполное среднее образование.
Проживал и работал в Петродворце.
В 1930 году Киреев был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. Окончил курсы пехотных командиров, затем курсы усовершенствования командного состава. С первых дней Великой Отечественной войны — на её фронтах. Принимал участие в боях на Западном и Калининском фронтах. Участвовал в боях в Белорусской ССР в 1941 году, в Смоленском сражении, Вяземской операции, битве за Москву августе 1941 - апреле 1942 года четыре раза был ранен. В дальнейшем участвовал в освобождении Псковской области.
К сентябрю 1943 года гвардии подполковник Иван Киреев командовал 61-м гвардейским стрелковым полком 19-й гвардейской стрелковой дивизии 5-го гвардейского стрелкового корпуса 39-й армии Калининского фронта.
Отличился во время Смоленской наступательной операции.
14 сентября 1943 года 1943 года полк Киреева прорвал немецкую оборону под Духовщиной и переправился через реку Царевич, захватив плацдарм на её западном берегу, благодаря чему дивизия беспрепятственно продолжила наступление. 24 сентября на подступах к Рудне в критический момент боя за важные высоты Киреев лично пулемётным огнём подавил несколько вражеских огневых точек, а затем поднял своих бойцов в атаку. В том бою он погиб. Похоронен в братской могиле в Рудне.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 июня 1944 года за «мужество и героизм, проявленные в борьбе с немецкими захватчиками» гвардии подполковник Иван Киреев посмертно был удостоен высокого звания Героя Советского Союза.