Александр Павлович Калашников родился 3 января 1957 года в Кызыл-Кия Баткенской области Киргизской ССР.
Воспитанник ДЮСШ Кызыл-Кия.
Карьеру начал во фрунзенской "Алге" в 1976 году.
Играл в составе новосибирского "Чкаловца", "Вулкана" из Петропавловска-Камчатского, смоленской "Искры.
Наибольших успехов достиг, играя в составе московских "Спартака" и "Локомотива", отыграв там по 5 сезонов. В Высшей лиге чемпионата СССР провёл 80 матчей, забил 17 мячей. В еврокубках — 9 матчей. Всего же в высшей, первой и второй лигах СССР, а также розыгрышах Кубка Советского Союза Калашников забил 139 мячей. Всё это — наивысшие достижения среди воспитанников киргизского футбола.
Мастер спорта СССР (1980).
Чемпион СССР (1979).
Серебряный призёр СССР (1980, 1981).
Бронзовый призёр СССР (1982).