Сергей Семёнович Терещинков родился 27 апреля 1938 года в деревне Ольша Красниснкого района Смоленской области.
Рос в крестьянской семье, отец погиб на фронте во время Великой Отечественной войны. В детстве активно занимался лыжными гонками, плаванием, но в конечном счёте сделал выбор в пользу велоспорта. В 1962 году, окончив Смоленский государственный институт физической культуры, переехал в Тулу, где под руководством тренера Геннадия Мартынова проходил подготовку на местном велотреке и выступал за добровольное спортивное общество "Труж".
Первого серьёзного успеха в трековом велоспорте добился в 1963 году, когда попал в основной состав советской национальной сборной и удостоился права защищать честь страны на чемпионате мира в бельгийском Рокуре. Вместе с напарниками одолел всех своих соперников в командной гонке преследования на 4 км и завоевал тем самым золотую медаль.
В 1964 году на мировом первенстве в Париже пытался защитить чемпионский титул, однако на сей раз вынужден был довольствоваться бронзовой наградой.
На чемпионате мира 1965 года в испанском Сан-Себастьяне вновь стал чемпионом в программе командной гонки преследования. В командном преследовании является чемпионом СССР 1964 года, чемпионом Спартакиады народов СССР 1967 года, серебряным призёром Спартакиады народов СССР 1971 года. В период 1966—1969 в течение трёх лет неизменно оставался чемпионом РСФСР, неоднократно устанавливал рекорды всесоюзного и республиканского значения. В 1983 году участвовал в знаменитом "Велопробеге мира" протяжённостью 2340 км по пяти странам и двум континентам, побеждал в международных матчевых встречах с командами ФРГ, Дании, Франции.
За выдающиеся спортивные достижения удостоен почётного звания "Заслуженный мастер спорта СССР".
Завершив карьеру спортсмена, Сергей Терещенков перешёл на тренерскую работу. Занимал должность старшего тренера в тульской школе высшего спортивного мастерства, был заместителем директора по учебной части специализированной детско-юношеской спортивной школы "Труд", возглавлял сборную Тульской области. Подготовил множество талантливых велогонщиков, за что присвоено звание "Заслуженный тренер РСФСР"
Награждён медалью "За трудовое отличие". Судья всесоюзной категории. В поздние годы занимался разработкой и продвижением спортивно-оздоровительных программ для детских садов.
Умер 11 апреля 2006 года, похоронен на Центральной аллее Смоленского кладбища в Туле.