Михаил Васильевич Мягкий родился в 1922 году в селе Клугигно-Башкировка Харьковской области Украинской ССР.
Окончил семь классов школы. В 1941 годуМягкий был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. С того же года — на фронтах Великой Отечественной войны.
К весне 1943 года она минёров43-й армии Калининского фронта. В составе отряда минёров он был заброшен в немецкий тыл на территорию Смоленской области с целью диверсий на железных дорогах. 8 мая 1943 года группа, совершила диверсию в районе станции Лелеквинская Руднянского района, но была окружена противником. Сумев прорваться к высоте у деревни Княжино, 12 мая минёры заняли круговую оборону и отстреливались до последнего патрона, после чего пошли врукопашную и погибли. Все минёры похоронены в деревне Микулино Руднянского района.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 июля 1944 года за "образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм" гвардии красноармеец Михаил Мягкий посмертно был удостоен высокого звания Героя Советского СОюза.